连教材都不严谨的问题,运用麦克劳林公式,将lg11精确到十万分位
近期不少网友都在问:连教材都不严谨的问题,运用麦克劳林公式,将lg11精确到十万分位,小编也是查阅很多资料,整理了一些相关方面的答案,大家可以参考一下。
【温馨提示】本文共有1248个字,预计阅读完需要4分钟,请仔细阅读哦!
高数教材上有一道运用麦克劳林公式的练习题,要将lg11精确到10^(-5)。老黄在学习的过程中,发现教材给的参考答案并不十分严谨。为了使答案变得严谨,老黄可谓煞费苦心, 因此还探究了一个“倒数更精确原理”,并探究了ln10的十万分位近似数。特别是“倒数更精确原理”的探究,没少受聪明的网友们的奚落和鄙夷。不过这些都不能打击老黄探究数学的热情。下面老黄先介绍教材的解法,并指出其中不严谨的地方,然后再运用老黄探究的两个结果,来使它变得更加严谨。
请运用麦克劳林逼近法,将lg11精确到10^(-5).
解:lg11=1 lg1.1=1 lge^(ln1.1)=lge*ln1.1,【先转化成含有ln1.1的式子,通过求ln1.1的近似数,来得到lg11的近似数。因为直接求lg11的近似数,在这里行不通,就是直接求lg1.1的近似数,也是相当麻烦的】
又ln(1 x)=x-x^2/2 …… (-1)^(n-1)x^n/n (-1)^nx^(n 1)/((n 1)(1 θx)),(0<θ<1,x>-1).【这是常用的麦克劳林公式之一,求对数的精确值,基本上都要转化成这个公式的运用问题,当x=0.1时,得到的就是ln1.1, 而这里的x取值一旦超过0.5,就会产生问题,因为x越大,需要取的n就越大,而一旦超过0.5,n就取不到适当的值】
当x=0.1时,要使|lgeRn(0.1)|<|(-1)^nx^(n 1)/((n 1)(1 θx))|<|0.1^(n 1)/(n 1)|<10^(-5), 【将一个数精确到10^(-5),其实指的就是它的余项要小于10^(-5)】
只要取n=5, 则lg11约=1 lge(0.1-0.01/2 0.001/3-0.0001/4 0.00001/5)约=1.04139. 【检验正确】
不知道您发现这个过程中不严谨的地方了没有。那就是lge其实并不是一个已知的量,它也需要通过麦克劳林公式来求近似数。如果用计算器求,那不如直接用计算器求lg11. 如果要再次运用麦克劳林公式求lge,就相当麻烦,其难度远超求ln1.1的近似数,而且精确度要怎么保证呢?
其实lge是ln10的倒数,由于常用对数函数lgx的导函数中,分母包含系数ln10,所以求ln10的近似数对这类问题很重要。因此老黄觉得ln10应该当做一个常数来用。
老黄上一个视频就求得ln10的近似数是2.30259. 因此lge的近似数是0.43429. 因为ln10>1,根据“倒数更精确原理”,lge的精确度比ln10更高。这就可以通过纯笔算,计算出lg11精确到十万分位的近似数了。
数学这个东西,它的精粹在于不断地探究,而不在于评价问题的难易程度。所谓愚者千虑必有一得。老黄相信只要继续努力探究,总有一天会有所得的。
延伸阅读
猜你喜欢:
- [经验妙招7]春节去哪儿?除了三亚都不是最好的选择(春节还能去三亚旅游吗)
- [经验妙招7]如何叠衣服不会乱(学会这种方法叠衣服,怎么翻都不乱)
- [经验妙招7]电脑显示器分辨率怎么调都不合适(电脑屏幕怎么调分辨率)
- [经验妙招7]界面上所有图标都不见了怎么恢复原状(界面上所有图标都不见了怎么恢复?)
- [经验妙招7]总是很倒霉,什么都不顺利怎么回事(倒霉的事总是发生在我身上)
- [经验妙招7]什么动物吃仙人掌都不扎嘴?(什么动物吃仙人掌不扎嘴动物)
- [经验妙招7]为什么医生都不建议打自费疫苗(为什么医生不建议打自费疫苗)
- [经验妙招7]为什么空调开了30度都不热(为什么空调开30度还不热)
- [经验妙招7]地名的正确读音(全国各地地名不同读音)
- [经验妙招7]魔兽tbc卡拉赞(魔兽卡拉赞几人本)